円錐の体積ってなんであの公式なの

円錐の体積ってなんであの公式なの

どうもこんにちは塚本です!
釣りに行きたすぎて毎日ウズウズしております!

今日は久しぶりに数学っぽいブログを書きたいと思います.

円錐

円錐(えんすい,英: cone)とは,円を底面として持つ錐(きり)状にとがった立体のことである‥.

Wikipedia先生によると円錐とはこのような立体のことらしいです.
今日は円錐についてのブログです.

表面積を求める公式

S=rπ(r+m)

母線をm, 半径をr, 高さをhとすると表面積はこのようにあらわされます.
円錐は展開図にすると,円と扇形に分離されるのでこのような公式になります.

展開図がそのまま数式になっているので非常に分かりやすく理解しやすいと思います.

体積を求める公式

V=13πr2h

さて,次は円錐の体積を求める公式です.
なんかこれってモヤモヤしませんでしたか?

おそらく中1で習ったはずなんですが,
なんでこうなるのだろう?と非常に気になったのを覚えています.
公式が直感的ではないし,先生に聞いてみても「錐は

13

なの」と濁されるだけだった気がします.

いや,

13

ってなんだよ!ってなったのを覚えています.

円錐の体積を追い求める情熱

僕は中学生のときに習った円錐の体積の公式が気になりすぎて仕方なかったです.
当時の僕にはまだ微分積分の概念は理解できず,悶々とした日々を過ごしていました.

中学卒業後に微分積分を学べたのは自分にとって非常に大きい出来事でした.
今まで習ってきた数学のコンポーネント達は全て微分積分に繋がってるんだな〜と感動を覚えました.

もちろん,そこから微分方程式やラプラス変換…とどんどん進んでいくにつれて
数学の道筋・美しさに魅了されていきました.

また,「数学は物理を解くための道具」ということで,電気や物理等に登場してきたときも
「なるほど,ここでこれが便利なのか!」と感心させられたことも非常に印象に残っています.

ここで何がいいたいかというと,数学は美しい!楽しい!大好き!ってことです(笑)
いくらでも書けるので次にいきます.

回転体の体積を求める公式

ab π{f(x)}2dx

いきなり数式になりますが,

axb

における回転体の体積を求める公式はこちらになります.
こちらは非常にエレガントな形で直感的だと思っています.

この公式を習ったときに演習問題で,だいたい円の体積を求めると思います.

「あれ,,これ円錐もいけるやつやん!」と僕はそのとき思いました.

早速もとめてみる

ぐちゃぐちゃな字で申し訳ないですが,これがまず結果です.

円錐は,

f(x)=rhx+r

という関数で二次元的に表せるというのがポイントだと思います.

この関数をx軸について一回転させると円錐になると思います.
あとは公式にしたがって積分していけば円錐の体積の公式が導出できます.

導出の中でも非常に感動的なシーンが現れます.

まず,僕が中学生のときに思った

13

ってなんやねん!! という問い…

こちらは,シンプルに,

x2

を積分したときの

13x3

の係数

13

が影響しているのだな…と.

また,最後に

r2h

が打ち消し合って消えるところ…

中学のときに疑問に思っていたことが解決できて,とっても感動したことを覚えています.
そして恐らくこの時に,より一層数学にハマったのだと思います.

まとめ?

今回のブログでは,定積分を用いて円錐の体積を求めました.

当たり前のように思える公式一つにとっても,
その背景にはドラマがあり,非常に美しいものだと思っています.

全てを疑うのは難しいですが,Web制作においても
これはどのように動いているのだろうか?と考えながら仕事をしていきたいです.