極座標表示における加速度の導出

極座標表示における加速度の導出

どうもこんにちは塚本です!

今日は久しぶりに力学を振り返ってみます!

極座標表示

極座標表示とは,原点からの距離と角度で座標を指定する表示形式です.
つまり,A(r,θ)と表記されます.

皆さんが最初に習うであろう形式は「直交座標」と呼ばれます.
こちらは,A(x,y)ですね.

加速度の極座標表示を導出するのが難しいと
昔,よく聞いていたので今日はそれをやってみます.

速度の極座標表示

速度の極座標表示は以下の形で表されます.

v=drdter+rdθdteθ 

こちらの導出はさほど難しくないので,すぐに出てくると思います.

加速度の極座標表示をもとめていく

加速度は速度を時間で微分すれば求まりますので,
①式より加速度は以下の形で表されます.

a=dvdt=ddt(drdter+rdθdteθ) 

必要な公式

ここで,使う公式等は以下のものになります.

derdt=eθdθdt


deθdt=erdθdt


{f(x)g(x)}=f(x)g(x)+f(x)g(x)


{f(x)g(x)h(x)}=f(x)g(x)h(x)+f(x)g(x)h(x)+f(x)g(x)h(x)

②式を展開してみると…!?

②式を展開してみると,以下の形になると思います.
なにか,みえてきますね…

a=ddt(drdter)+ddt(rdθdteθ)

ここで,右辺の左項のカッコにおいて⑤式を適用し,
右項においては⑥式を適用させることができます.

実際に適用して微分を行うと次の式が自動的に導出されますよね?簡単です^^

a=d2rdt2er+drdtdθdteθ+drdtdθdteθ+rd2θdt2eθ+rdθdt(erdθdt)

そして,形をととのえると,

a=(2drdtdθdt+rd2θdt2)eθ+{d2rdt2r(dθdt)2}er

教科書でみた形になると思います.
割とこの導出はテストに出たりするので,きっちりと出来るようになってください.

ブログだとTexが書きづらい…