極座標表示における加速度の導出

どうもこんにちは塚本です！

今日は久しぶりに力学を振り返ってみます！

極座標表示

極座標表示とは，原点からの距離と角度で座標を指定する表示形式です．
つまり，A(r,θ)と表記されます．

皆さんが最初に習うであろう形式は「直交座標」と呼ばれます．
こちらは，A(x,y)ですね．

加速度の極座標表示を導出するのが難しいと
昔，よく聞いていたので今日はそれをやってみます．

速度の極座標表示

速度の極座標表示は以下の形で表されます．

$$\overrightarrow{v}=\frac{dr}{dt}\overrightarrow{e_r}+r\frac{d\theta }{dt}\overrightarrow{e_{\theta }}\cdots ①$$ $$\vec{v} = \frac{dr}{dt}\vec{e_r} + r\frac{dθ}{dt}\vec{e_θ}　\cdots①$$

こちらの導出はさほど難しくないので，すぐに出てくると思います．

加速度の極座標表示をもとめていく

加速度は速度を時間で微分すれば求まりますので，
①式より加速度は以下の形で表されます．
$$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{dr}{dt}\overrightarrow{e_r}+r\frac{d\theta }{dt}\overrightarrow{e_{\theta }})\cdots ②$$ $$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}( \frac{dr}{dt}\vec{e_r} + r \frac{dθ}{dt} \vec{e_θ} )　\cdots ②\\ $$

必要な公式

ここで，使う公式等は以下のものになります．

$$・\frac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\overrightarrow{e_{\theta }}\frac{d\theta }{dt}\cdots ③$$ $$・ \frac{d\vec{e_r}}{dt} = \vec{e_θ}\frac{dθ}{dt} \cdots ③$$
$$・\frac{d\overrightarrow{e_{\theta }}}{dt}=-\overrightarrow{e_r}\frac{d\theta }{dt}\cdots ④$$ $$・ \frac{d\vec{e_θ}}{dt} = -\vec{e_r}\frac{dθ}{dt}\cdots ④$$
$$・\left\{f\right(x)\cdot g(x){\}}^{\prime }=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)\cdots ⑤$$ $$・ \{f(x)\cdot g(x)\}' = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)\cdots ⑤$$
$$・\left\{f\right(x)\cdot g(x)\cdot h(x){\}}^{\prime }=f^{\prime }(x)\cdot g(x)\cdot h(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)\cdot h(x)+f(x)\cdot g(x)\cdot h^{\prime }(x)\cdots ⑥$$ $$・ \{f(x)\cdot g(x) \cdot h(x)\}' = f'(x)\cdot g(x) \cdot h(x) + f(x)\cdot g'(x) \cdot h(x) + f(x)\cdot g(x) \cdot h'(x)\cdots ⑥$$

②式を展開してみると…!?

②式を展開してみると，以下の形になると思います．
なにか，みえてきますね…

$$\overrightarrow{a}=\frac{d}{dt}(\frac{dr}{dt}\cdot \overrightarrow{e_r})+\frac{d}{dt}(r\cdot \frac{d\theta }{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\theta }})$$ $$\vec{a} = \frac{d}{dt}( \frac{dr}{dt} \cdot \vec{e_r}) + \frac{d}{dt}(r \cdot \frac{dθ}{dt} \cdot \vec{e_θ} )$$

ここで，右辺の左項のカッコにおいて⑤式を適用し，
右項においては⑥式を適用させることができます．

実際に適用して微分を行うと次の式が自動的に導出されますよね？簡単です^^

$$\overrightarrow{a}=\frac{d^{2}r}{d{t}^2}\overrightarrow{e_r}+\frac{dr}{dt}\frac{d\theta }{dt}\overrightarrow{e_{\theta }}+\frac{dr}{dt}\frac{d\theta }{dt}\overrightarrow{e_{\theta }}+r\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\overrightarrow{e_{\theta }}+r\frac{d\theta }{dt}\cdot (-\overrightarrow{e_r}\frac{d\theta }{dt})$$ $$\vec{a} = \frac{d^2r}{dt^2} \vec{e_r} + \frac{dr}{dt} \frac{dθ}{dt} \vec{e_θ} + \frac{dr}{dt} \frac{dθ}{dt} \vec{e_θ} + r \frac{d^2θ}{dt^2} \vec{e_θ} + r \frac{dθ}{dt} \cdot ( - \vec{e_r} \frac{dθ}{dt} )$$

そして，形をととのえると，

$$\overrightarrow{a}=(2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta }{dt}+r\frac{d^2\theta }{d{t}^2})\overrightarrow{e_{\theta }}+\{\frac{d^{2}r}{d{t}^2}-r(\frac{d\theta }{dt}{)}^2\}\overrightarrow{e_r}$$ $$\vec{a} = ( 2 \frac{dr}{dt} \frac{dθ}{dt} + r \frac{d^2θ}{dt^2} ) \vec{e_θ} + \{ \frac{d^2r}{dt^2} - r( \frac{dθ}{dt} )^2 \} \vec{e_r}$$

教科書でみた形になると思います．
割とこの導出はテストに出たりするので，きっちりと出来るようになってください．

ブログだとTexが書きづらい…