全加算器をANDとORとNOTのみであらわす

どうもこんにちは塚本です。

今日のブログは全加算器についてのものです。

普通に全加算器を作っても面白くないので、
OR回路とAND回路のみで全加算器を構成してみようと思います。

全加算器とは

全加算器（Full Adder、FA）は代表的な組み合わせ回路の一つで、
桁上げが考慮された加算器になります。

全加算器の真理値表

入力をそれぞれA，B　桁上げ入力がCin、
出力をS、桁上げ出力をCoutとすると以上の真理値表となります。

全加算器の論理式

$$S=A\oplus B\oplus C_{in},C_{out}=AB+B{C}_{in}+C_{in}A\cdots \left(1\right)$$ $$S = A \oplus B \oplus C_{in},\ C_{out} = AB + BC_{in} + C_{in}A \cdots (1)$$

また、論理式は一般的に以上の(1)式になります。
数学が好きな方からすると、美しい形をしていることが分かってくれるとおもいます。

半加算器とORゲートを用いた全加算器

そして、図のように、
Full AdderはHalf Adder2つとORゲートで実装可能です。

これが覚えづらいって方は、以下の図のように
各出力をイメージするとわかりやすいかと思います。

全加算器の論理式（生）

普通なら、これで終わりなんですが
今日のテーマは全加算器をわざわざORとANDのみであらわそう！
ということなので、式を主加法標準形に直していきます。

ブール代数の公理や定理を使って、式変形してもいいんですが
TeXを書くのがめんどくさいので、真理値表からそのまま論理式を出します。

$$S=\overline{A}\overline{B}{C}_{in}+\overline{A}B\overline{C_{in}}+A\overline{B}\overline{C_{in}}+AB{C}_{in},C_{out}=\overline{A}B{C}_{in}+A\overline{B}{C}_{in}+AB\overline{C_{in}}+ABC$$ $$S = \bar{A}\bar{B}C_{in} + \bar{A}B\bar{C_{in}} + A\bar{B}\bar{C_{in}} + ABC_{in} \ , \ C_{out} = \bar{A}BC_{in} + A\bar{B}C_{in} + AB\bar{C_{in}} + ABC$$

こちらが真理値表から取り出した生の論理式です。
ちょっとこのままだと、Coutの入力が多いのですこし減らしときます。

このように、カルノー図を使うと、Coutを簡単化できます。

したがって、最終的な論理式はこちらになります。

$$S=\overline{A}\overline{B}{C}_{in}+\overline{A}B\overline{C_{in}}+A\overline{B}\overline{C_{in}}+AB{C}_{in},C_{out}=AB+B{C}_{in}+C_{in}A\cdots \left(1\right)$$ $$S = \bar{A}\bar{B}C_{in} + \bar{A}B\bar{C_{in}} + A\bar{B}\bar{C_{in}} + ABC_{in} \ , \ C_{out} = AB + BC_{in} + C_{in}A \cdots (1)$$

全加算器の回路図

途中から元気がなくなってきて、適当になりましたが
全加算器をANDとORであらわすとこんな感じになります。

まとめ

もう疲れました。こんなネタを思いつかなければよかったです。
式のチェックもしていません orz